肛門中点定理による大便地獄の定理の証明

朝の空気が氷のように冷たい。ついこのあいだまで半袖シャツを汗で濡らしていた気がするのに、気がつけばこのあり様である。まったく心地の良い秋というのはどこに行ったらあるのだろうか。もしかしたら秋というのは大昔の幻想で、現代の地球は春、夏、冬の三つしか季節がないのかもしれない。

ところで、冬につらいことといえば、うんちである。

恵まれた家庭であればトイレもあたたかいだろうが、うちのトイレはとにかく寒い。そんなトイレで不幸なことに、とどまることを知らないうんちをしてしまったのだ。

早くこたつに潜りたいとぶるぶる震えながらもまったく止まらないうんち。僕は恐怖を覚えた。このままうんちをし続けることでいつの日か凍死してしまうのではないかと。

そのときに考えたことを、うんちと共にここに垂れ流しておく。

命題

一度うんちをし始めれば、人は永遠にうんちをし続ける。(大便地獄の定理)

証明

うんちの先頭が肛門の出口に差し掛かった瞬間を時刻t=0とし、時刻tにおける肛門の出口からうんちの最後尾までの長さをL(t)とする。ここで、L(0)はうんちの長さである。

肛門の出口を点Aとして、AM=L(t)/2となるような動点Mを肛門より内側のうんち上にとる。つまり、点Mはいまだ外に出ていない部分のうんちの中点である。時刻tにおける線分AMの長さをS(t)とする。

異なる2つの時刻t(n),t(n+1)が、S(t(n))=L(t(n))-L(t(n+1))を満たすとする。ただし、t(0)=0である。

(ⅰ) n=0のとき

S(t(0))=S(0)=L(0)/2

L(0)はうんちの長さだから、L(0)＞0

したがって、S(t(0))＞0

(ⅱ) ある自然数kがS(t(k))＞0を満たすとき

S(t(k+1))=L(t(k+1))/2=(L(t(k))-S(t(k)))/2=S(t(k))/2＞0

(ⅰ)(ⅱ)より、すべての自然数nがS(t(n))＞0を満たす。

これは、うんちの中点が肛門の出口に差し掛かったとき、新たな中点をうんち上にとることを無限に繰り返すことができることを表す。(肛門中点定理)

さて、うんちの最後尾は常にうんちの中点よりも後ろに存在するわけだが、無限にうんちの中点をとることができるということは、うんちの最後尾はどれだけ中点をとっても肛門を脱することができないため、うんちが無限に肛門の中を彷徨い続けることを表す。

かくして題意は示された。

さて、こうして世にも恐ろしい大便地獄の定理が立証されてしまったわけだが、安心してほしい。これは古代ギリシャの自然哲学者ゼノンがピタゴラス学派を批判するために提唱したパラドックスのうちの一つを応用したものである。

したがって、大便地獄の定理はまったくのでたらめであり、現に僕はこうして長い長い大便の旅から生還している。

明日からも気兼ねなくうんちができると思うと、なんだか心があたたかくなってきた気がする。今年の冬もなんとか乗り越えられそうだ。