自然数に対するうんち的アプローチ
人間というのはときに自らの幸福に盲目的になってしまう生き物だ。今自分が置かれている環境にありがたみを感じることなく、ないものばかりに目を奪われ自らを恵まれていない、不幸であると錯覚する。
当たり前のことを当たり前だと思わないこと。それが幸福への鍵になるかもしれない。
さて、一般的には当たり前と思われていることに目を向けるというのは科学の場面では頻繁に行われていることである。
その代表例としてあげられるのが1+1=2という小学生でもわかる実に簡単な計算式だ。
初等教育では自明に扱われているが、ユークリッド以来の哲学的見地からすれば、公理とは言えないこの数式は論理的に明らかにされるべき命題である。
今回は皆さんにも馴染み深いうんちを使ったアプローチで、この数式の証明の概観をここに記したい。
まず、自然数は以下の性質を満たすものとする。
(α)自然数うんぽが存在する。
(γ)うんぽはいかなる自然数の後者でもない。
(ε)うんぽがある性質を満たし、ある自然数がその性質を満たせば後者の自然数もその性質を満たすとき、すべての自然数がその性質を満たす。
(β)について、自然数うんこの後者の自然数をうんぽこ(うんこ)と表記する。
また、(δ)は後者の自然数が同じならばもとの自然数も同じであることを表す。
任意の自然数ウンコ、うんこについての関数うんち(ウンコ,うんこ)が、
うんち(ウンコ,うんぽ)=ウンコ......(A)
うんち(ウンコ,うんぽこ(うんこ))=うんぽこ(うんち(ウンコ,うんこ))......(B)
を満たすとき、ウンコとうんこの和を表す式ウンコ+うんこを、うんち(ウンコ,うんこ)=ウンコ+うんこで定義する。
さて、この定義はしばしば自明のように扱われるが、関数うんちの一意存在性については議論が必要である。
うんちとは異なる関数ウンチ(ウンコ,うんこ)が、
ウンチ(ウンコ,うんぽ)=ウンコ......(C)
ウンチ(ウンコ,うんぽこ(うんこ))=うんぽこ(ウンチ(ウンコ,うんこ)......(D)
を満たすとする。
(A)(C)より、
うんち(ウンコ,うんぽ)=ウンチ(ウンコ,うんぽ)
ある自然数ウンポがうんち(ウンコ,ウンポ)=ウンチ(ウンコ, ウンポ)を満たすとき、
うんぽこ(うんち(ウンコ,ウンポ))=うんぽこ(ウンチ(ウンコ,ウンポ))
(B)(D)より、
うんち(ウンコ,うんぽこ(ウンポ))=ウンチ(ウンコ, うんぽこ(ウンポ))
以上より、すべての自然数の組(ウンコ,うんこ)についてうんち(ウンコ,うんこ)=ウンチ(ウンコ,うんこ)が成り立つ。
これで一意性は示されたわけだが、 存在性についてはもっと厄介である。その準備として、 以下の条件を満たす関数うんちっち(ウンコ,うんこ)を定義し、和の交換律について議論する。
うんちっち(うんぽ,うんこ)=うんこ......(E)
うんちっち(うんぽこ(ウンコ),うんこ)=うんぽこ(うんちっち(ウンコ,うんこ))......(F)
つまり、関数うんちっちはうんちの(ウンコ,うんこ)を(うんこ,ウンコ)でおきかえたものである。
(A)より、
うんち(うんぽ,うんぽ)=うんぽ
ある自然数ウンポがうんち(うんぽ,ウンポ)=ウンポを満たすとき、(B)より、
うんち(うんぽ,うんぽこ(ウンポ))=うんぽこ(うんち(うんぽ,ウンポ))=うんぽこ(ウンポ)
したがって、すべての自然数うんこについてうんち(うんぽ,うんこ)=うんち(うんこ,うんぽ)が成り立つ。……(G)
ある自然数ウンポが、うんち(ウンポ,うんこ)=うんちっち(ウンポ,うんこ)=うんち(うんこ,ウンポ)を満たすとき、(B)(F)より、
うんち(うんぽこ(ウンポ),うんこ)
=うんちっち(うんぽこ(うんこ),ウンポ)
=うんぽこ(うんちっち(うんこ,ウンポ))
=うんぽこ(うんち(ウンポ,うんこ))
=うんぽこ(うんち(うんこ,ウンポ))
=うんぽこ(うんちっち(ウンポ,うんこ))
=うんちっち(うんぽこ(ウンポ),うんこ))
以上より、すべての自然数の組(ウンコ,うんこ)についてうんち (ウンコ,うんこ)=うんちっち(ウンコ,うんこ)=うんち(うんこ,ウンコ)が成り立つ。……(H)
和の交換律が示されたところで、本題の存在性の議論に移る。
(G)より、すべての自然数うんこについてうんち(うんぽ,うんこ)=うんこが成り立つ。
したがって、ウンコ=うんぽのとき関数うんち(ウンコ,うんこ) は存在する。
ウンコ=ウンポで関数うんち(ウンコ,うんこ)が存在するとき、(B)より、
うんぽこ(うんち(ウンポ,うんぽこ(うんこ))) =うんぽこ(うんぽこ(うんち(ウンポ,うんこ)))
ここで、(H)より、
うんぽこ(うんち(ウンポ,うんこ))
=うんぽこ(うんち(うんこ,ウンポ))
=うんち(うんこ,うんぽこ (ウンポ))
=うんち(うんぽこ(ウンポ),うんこ)
であることから、
うんち(うんぽこ(ウンポ),うんぽこ(うんこ))
=うんぽこ(うんち(ウンポ,うんぽこ(うんこ)))
=うんぽこ(うんぽこ(うんち(ウンポ,うんこ)))
=うんぽこ(うんぽこ(ウンポ),うんこ)
これは、関数うんちの性質(B)を満たす。
また、(A)より、うんち(ウンポ,うんぽ)=ウンポだから、
うんち(うんぽこ(ウンポ),うんぽ)
=うんぽこ(うんち(ウンポ,うんぽ))
=うんぽこ(ウンポ)
これは、関数うんちの性質(A)を満たす。
したがって、ウンコ=うんぽこ(ウンポ)でも関数うんち(ウンコ,うんこ)の要件を満たす。
以上より、すべての自然数の組(ウンコ,うんこ)について関数うんち(ウンコ,うんこ)は存在する。
これで存在性は示された。
関数うんちの一意存在性が示されたので、ここからは簡単である。
和算の定義うんち(ウンコ,うんこ)=ウンコ+うんこより、
うんち(うんぽこ(うんぽ),うんぽこ(うんぽ))=うんぽこ( うんぽ)+うんぽこ(うんぽ)……(I)
また、(A)(B)より、
うんち(うんぽこ(うんぽ),うんぽこ(うんぽ))
=うんぽこ(うんち(うんぽこ(うんぽ),うんぽ))
=うんぽこ(うんぽこ(うんぽ))……(J)
(I)(J)より、
うんぽこ(うんぽ)+うんぽこ(うんぽ)=うんぽこ(うんぽこ(うんぽ))
ここで、うんぽこ(うんぽ)=1、うんぽこ(うんぽこ(うんぽ))=2と定義すれば、1+1=2が得られる。
......。
............。
........................。
うんちとかいっぱい言いたかっただけですごめんなさい。
